具有陡峭势阱的 $\bbr^4$ 中双重临界薛定谔系统

研究如下双分量椭圆系统% \begin{equation*} \left\{\aligned&\Delta u-(\lambda a(x)+a_0)u+u^3+\beta v^2u=0\quad&\text{in }\bbr^4,\\% &\Delta v-(\lambda b(x)+b_0)v+v^3+\beta u^2v=0\quad&\text{in }\bbr^4,\\% &(u,v)\in\h\times\h,\endaligned\right.% \end{equation*} 其中 $a_0,b_0\in\bbr$ 为常数；$\lambda>0$ 且 $\beta\in\bbr$ 为参数，$a(x), b(x)\geq0$ 为未必径向对称的势阱。利用变分法，我们研究该系统基态解与一般基态解（即可能为半平凡的）的存在性。事实上，据我们所知，即使是半平凡解的存在性在文献中也是未知的。我们观察到基态解与一般基态解的某些集中行为。相分离现象亦被预期。这似乎是首次明确描述整个空间 $\bbr^4$ 中临界系统相分离现象的结果。注意到该系统的三次非线性项与耦合项相对于索博列夫临界指数均为临界增长。