$\bbr^4$ 中具有 Sobolev 临界指数的双组分椭圆系统的尖峰

考虑如下椭圆系统：\begin{equation*} \left\{\aligned&-\ve^2\Delta u_1+\lambda_1u_1=\mu_1u_1^3+\alpha_1u_1^{p-1}+\beta u_2^2u_1\quad&\text{in}\Omega,\\ &-\ve^2\Delta u_2+\lambda_2u_2=\mu_2u_2^3+\alpha_2u_2^{p-1}+\beta u_1^2u_2\quad&\text{in}\Omega,\\ &u_1,u_2>0\quad\text{in}\Omega,\quad u_1=u_2=0\quad\text{on}\partial\Omega,\endaligned\right. \end{equation*} 其中 $\Omega\subset\bbr^4$ 是有界域，$\lambda_i,\mu_i,\alpha_i>0(i=1,2)$ 且 $\beta\not=0$ 为常数，$\ve>0$ 是小参数，$2<p<2^*=4$。利用变分法，我们研究了当 $\ve>0$ 足够小时该系统的基态解的存在性。并研究了当 $\ve\to0^+$ 时基态解的集中行为。进一步，结合椭圆估计与局部能量估计，我们还得到了当 $\ve\to0^+$ 时尖峰的位置。据我们所知，这是首次致力于 $\bbr^4$ 中玻色-爱因斯坦凝聚体尖峰的研究。