Sobolev 临界 Schrödinger 系统归一化基态的存在性与渐近行为

本文研究如下具有临界指数的非线性 Schrödinger 系统的归一化基态的存在性与渐近性质：\begin{equation*} \left\{\begin{aligned} &-\delta u+\lambda_1 u=|u|^{2^*-2}u+{\nu\alpha} |u|^{\alpha-2}|v|^\beta u,\quad \text{in }\mathbb{R}^N, &-\delta v+\lambda_2 v=|v|^{2^*-2}v+{\nu\beta} |u|^\alpha |v|^{\beta-2}v,\quad \text{in }\mathbb{R}^N, &\int u^2=a^2,\;\;\; \int v^2=b^2, \end{aligned} \right. \end{equation*} 其中 $N=3,4$，$\alpha,\beta>1$，$2<\alpha+\beta<2^*=\frac{2N}{N-2}$。我们证明当 $\nu<0$ 时归一化基态不存在。当 $\nu>0$ 且 $\alpha+\beta\le 2+\frac{4}{N}$ 时，我们证明系统对 $0<\nu<\nu_0$ 具有归一化基态解，常数 $\nu_0$ 将被显式给出。在 $\alpha+\beta>2+\frac{4}{N}$ 的情形，我们证明存在阈值 $\nu_1\ge 0$，使得当 $\nu>\nu_1$ 时存在归一化基态解，而当 $\nu<\nu_1$ 时不存在。我们还给出了 $\nu_1=0$ 的条件。最后我们得到了当 $\nu\to0^+$ 或 $\nu\to+\infty$ 时极小元的渐近行为。