带 Hardy 势的非线性椭圆方程的稳定解与有限 Morse 指数解

我们研究带 Hardy 势的以下非线性椭圆方程的稳定解和有限 Morse 指数解的 Liouville 型结果：\begin{displaymath} \Delta u+\dfrac{\mu}{|x|^2}u+|x|^l |u|^{p-1}u=0 \qquad \textrm{in}\ \ \Omega, \end{displaymath} 其中 $\Omega=\RN$, $\RN\setminus\{0\}$ 且 $N\geq3$, $p>1$, $l>-2$ 以及 $\mu<(N-2)^2/4$。我们的结果关键依赖于一个新的临界指数 $p=p_c(l,\mu)$ 以及 Hardy 项中的参数 $\mu$。我们证明了当 $1<p<p_c(l,\mu)$ 时，不存在非平凡稳定解和有限 Morse 指数解。我们还观察到，在大于 $p_c(l,\mu)$ 的一个指数范围内，我们的方程允许存在正径向稳定解。