权重对拟线性椭圆方程稳定解的影响

本文研究拟线性椭圆方程 $-\Delta_p u= f(x) F(u)$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中稳定解和有限Morse指标弱解的Liouville定理，其中 $p\ge 2$，$0\le f\in C(\mathbb{R}^n)$ 且 $F\in C^1(\mathbb{R})$。我们将 $f(x)$ 称为权重，将 $F(u)$ 称为非线性项。值得注意的事实是，若权重函数被一个严格正常数从下方界定，即 $0<C\le f$，则其对稳定解的影响不大；然而，非负权重 $0\le f$ 会推动某些临界维数。这一分析观察结果有潜力应用于各种模型，以推动某些众所周知的临界维数。对于一般非线性项 $F\in C^1(\mathbb{R})$ 和 $f(x)=|x|^\alpha$，我们证明了在维数 $n\le \frac{4(p+\alpha)}{p-1}+p$ 下，有界径向稳定解的Liouville定理。对于特定非线性项 $F(u)=e^u$、$u^q$（其中 $q>p-1$）和 $-u^{q}$（其中 $q<0$），分别称为Gelfand非线性项、Lane-Emden非线性项和负指数非线性项，我们证明了径向有限Morse指标解（不一定有界）和稳定解（不一定径向或有界）的Liouville定理。