各向异性椭圆方程稳定解的部分正则性与刘维尔定理

我们研究拟线性椭圆方程 \begin{equation*} -Qu=e^u \ \ \text{in} \ \ \Omega\subset \mathbb{R}^{N} \end{equation*} 其中算子 $Q$（称为 Finsler-Laplacian 或各向异性 Laplacian）定义为 $$Qu:=\sum_{i=1}^{N}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(F(\nabla u)F_{\xi_{i}}(\nabla u)),$$ 其中 $F_{\xi_{i}}=\frac{\partial F}{\partial\xi_{i}}$ 且 $F: \mathbb{R}^{N}\rightarrow[0,+\infty)$ 是 $C^{2}(\mathbb{R}^{N}\setminus\{0\})$ 上的凸函数，满足某些假设。对有界域 $\Omega$ 及上述方程的稳定弱解，我们证明奇异集的 Hausdorff 维数不超过 $N-10$。对全空间，我们应用 Dancer-Farina 与 Crandall-Rabinowitz 在此背景下建立的 Moser 迭代论证，分别证明在维数 $N<10$ 与 $2<N<10$ 下稳定解与有限 Morse 指数解的刘维尔定理。我们还给出 $N=2$ 时紧集外稳定的显式解。此外，我们对幂型非线性给出类似的刘维尔定理。