有限Morse指标解与加权非线性椭圆方程的渐近行为

通过引入合适的设定，我们研究了方程 -{\rm div} (|x|^\theta \nabla v)=|x|^l |v|^{p-1}v \;\;\; {\rm in $\Omega \subset \R^N \; (N \geq 2)$}, \leqno(1) 的有限Morse指标解的行为，其中$p>1$，$\theta, l\in\R^1$满足$N+\theta>2$，$l-\theta>-2$，且$\Omega$是有界或无界区域。通过形如$v(x)=|x|^\sigma u(x)$的适当变换，方程(1)可重写为带Hardy势的非线性Schrödinger方程-\Delta u=|x|^\alpha |u|^{p-1}u+\frac{\ell}{|x|^2} u \;\; {\rm in $\Omega \subset \R^N \;\; (N \geq 2)$}, \leqno{(2)}其中$p>1$，$\alpha \in (-\infty, \infty)$，$\ell \in (-\infty,(N-2)^2/4)$。我们证明，在我们为(1)选择的有限Morse指标理论设定下，解在多种自然变换下的稳定性不变。这使我们能够揭示(1)中指数$p$的两个临界值，它们划分了(1)的有限Morse指标解的行为，进而通过变换得到(2)的两个临界幂。后者若直接处理(2)则难以获得。