超临界半线性椭圆方程有限 Morse 指数解的一致有界性

我们考虑半线性椭圆问题的有限 Morse 指数解,并研究其光滑性。众所周知:- 当 $n=2$ 时,存在 $L^\infty$ 范数趋于无穷的 Morse 指数 $1$ 解。- 当 $n \geq 3$ 时,在次临界情形对幂型非线性一致有界性成立,而对临界非线性 Morse 指数的有界性不能阻止 $L^\infty$ 中的爆破。本文中,我们研究凸区域上一般超临界非线性情形,并在尖锐维数范围 $3\leq n\leq 9$ 内证明了有限 Morse 指数解的内部先验 $L^\infty$ 估计。作为推论,我们得到了通过连续性方法构造的 Gelfand 问题有限 Morse 指数解的一致估计。[在先前版本中,命题 A.1 的证明不完整。事实上,引理 A.2 仅对以原点为中心的估计给出了证明,且脚注 9 声称同样的估计在每个点成立;然而,对此推广未给出完整证明。在当前版本中,引理 A.2 限于原点的估计,而任意点的有界性通过结合文献 [9] 的结果与新版引理 A.2 得到。这避免了对引理 A.2 向任意中心的推广,并给出了命题 A.1 的完整证明。]