有限 Morse 指标蕴含有限端

我们证明 $\R^2$ 中 Allen-Cahn 方程的有限 Morse 指标解具有有限个端和线性能量增长。主要工具是这些有限 Morse 指标解水平集上的曲率衰减估计,这反过来归结为 $\R^n$ 中奇异摄动 Allen-Cahn 方程聚集界面的均匀二阶正则性问题。利用间接爆破技术,在极小曲面经典 Colding-Minicozzi 理论的精神下,我们证明 $\R^n$ 中聚集界面均匀二阶正则性的障碍与 $\R^{n-1}$ 中(有限或无限)Toda 系统非平凡整体解的存在性相关。对于 $\R^2$ 中的有限 Morse 指标解,我们利用 Toda 系统稳定解的信息证明该障碍不存在。