半线性椭圆方程的稳定解在维数不超过 9 时光滑

在本文中我们证明了以下长期存在的猜想：半线性椭圆方程的稳定解在维数 $n \leq 9$ 时有界（从而光滑）。这一此前仅知对 $n\leq4$ 成立的结果是最优的：$\log(1/|x|^2)$ 是 $n\geq10$ 时的一个 $W^{1,2}$ 奇异稳定解。该猜想的证明源于一个新的通用估计：我们证明，在维数 $n \leq 9$ 时，稳定解仅由其 $L^1$ 范数界定，与非线性项无关。此外，我们在任意维数下建立了梯度的更高可积性结果以及解在 Morrey 空间中的最优可积性结果。从一系列经典例子可见，我们的所有结果都是尖锐的。进一步，作为推论我们得到 Gelfand 问题的极值解在任意维数下属于 $W^{1,2}$，且在维数 $n \leq 9$ 时光滑。这回答了 Brezis 以及 Brezis-Vázquez 提出的两个著名开放问题。