带权半线性椭圆方程的整体稳定解

我们关注方程 {equation} \label{pop} -div(\omega_1 \nabla u) = \omega_2 f(u) \qquad \text{in}\ \ \IR^N, {equation} 在正光滑权函数 $\omega_1(x),\omega_2(x)$ 下，非平凡稳定子解和上解的存在性与不存在性问题。我们考虑了 $f(u) = e^u, u^p$ (其中 $p>1$) 和 $-u^{-p}$ (其中 $p>0$) 的情形。我们得到了各种不存在性结果，这些结果依赖于维数 $N$、$p$ 以及 $\omega_1,\omega_2$ 在无穷远处的行为。此外，$\omega_1$ 的单调性也参与了一些结果。我们的方法是 Farina 在文献 \cite{f2} 中发展的方法。我们考察了一类特定的权函数 $\omega_1(x) = (|x|^2 +1)^\frac{\alpha}{2}$ 和 $\omega_2(x) = (|x|^2+1)^\frac{\beta}{2} g(x)$，其中 $g(x)$ 是一个在 $\infty$ 处具有有限极限的正函数。对于这类权函数，不存在性结果是最优的。为了证明最优性，我们使用了各种广义 Hardy 不等式。