多孔介质类型反应扩散方程：大时间行为与自由边界的正则性

我们考虑多孔介质类型反应扩散方程 \begin{equation*} \partial_t\rho=\Delta\rho^m+\rho g(\rho),\quad (x,t)\in \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}_+,\quad n\geq2,\quad m>1, \end{equation*} 其中 $g$ 为给定的单调递减函数，密度临界阈值为 $\rho_M>0$，满足 $g(\rho_M)=0$。我们证明压力 $P:=\frac{m}{m-1}\rho^{m-1}$ 在 $L_{loc}^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ 中的范数随时间衰减速率为 $(1+t)^{-1}$ 趋于压力临界阈值 $P_M:=\frac{m}{m-1}(\rho_M)^{m-1}$。若初始密度 $\rho(x,0)$ 紧支撑，则支撑集 $\{x: \rho(x,t)>0\}$ 的密度 $\rho$ 随时间呈指数级扩张。进一步我们证明存在时间 $T_0>0$，使得压力 $P$ 在 $t>T_0$ 时为 Lipschitz 连续，这是压力的 optimal (尖锐) 正则性，自由面 $\partial \{(x,t): \rho(x,t)>0\}\cap \{t>T_0\}$ 亦在局部为 Lipschitz 连续。此外，在相同的紧支撑初始假设下，我们验证自由边界 $\partial \{(x,t): \rho(x,t)>0\}\cap \{t>T_0\}$ 为局部 $C^{1,\alpha}$ 曲面。