主方程的径向对称性与 Liouville 定理

本文有两个主要目标。第一个是证明主方程\n\begin{equation*}\n(\partial_t-\Delta)^s u(x,t) =f(u(x, t)), \,\,(x, t)\in B_1(0)\times \mathbb{R},\n\end{equation*}\n在零外边界条件下，对于任意 $t\in \mathbb{R}$，其解在 $B_1(0)$ 中关于原点是径向对称且严格递减的。另一个目标是建立齐次主方程的 Liouville 定理\n\begin{equation*}\n(\partial_t-\Delta)^s u(x,t)=0 ,\,\, \mbox{in}\,\, \mathbb{R}^n\times\mathbb{R},\n\end{equation*}\n该定理指出所有有界解必为常数。我们提出了一种适用于全分数阶热算子 $(\partial_t-\Delta)^s$ 的直接移动平面法的新方法论，而我们主要结果的证明基于该直接方法，涉及扰动技术、极限论证以及 Fourier 变换。本研究开辟了研究主方程几何行为的途径，并为建立解的定性性质乃至推导其他类型分数阶抛物型方程的重要 Liouville 定理提供了有价值的见解。