梯度系统在无穷远处稳定的径向对称解的全局行为

本文研究形如 $u_t = -\nabla V(u) + \Delta_x u$ 的系统的径向对称解，其中空间变量 $x$ 和状态参数 $u$ 均为多维，且势函数 $V$ 在无穷远处具有强制性。对于此类系统，在势函数的一般假设下，我们研究了“在无穷远处稳定”的解的渐近行为，即当 $|x|$ 趋于 $+\infty$ 时趋近于空间均匀平衡态的解。我们证明，每一个这样的解都会趋近于一组向无穷远处行进的径向对称双稳前沿的堆叠族。这种行为类似于一篇姊妹篇论文中所描述的一维无界空间梯度系统中双稳解的行为。我们预期（但遗憾的是目前尚未证明）在这些行进前沿之后，解的行为再次与一维情形类似（即时间导数趋于零，解趋近于稳态解的模式）。