具双稳非线性的阻尼波动方程行波前的全局稳定性

我们考虑整个实轴上的阻尼波动方程 \alpha u_tt + u_t = u_xx - V'(u)，其中 V 为双稳势。该方程具有形式为 u(x,t) = h(x-st) 的行波前解，描述了系统两个不同稳态（其中之一为 V 的全局极小值）之间的移动界面。我们证明，若初始数据在 $|x|$ 较大时充分接近行波前的轮廓，则当 $t$ 趋于正无穷时，阻尼波动方程的解在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛于该行波前。这一全局稳定性结果的证明受到 E. Risler 近期工作的启发，并依赖于我们的系统在任意 Galilean 参考系中均存在 Lyapunov 函数这一事实。