一维无界空间梯度系统双稳态解的全局弛豫

本文研究如下抛物型梯度系统 $$u_t=-\nabla V (u) + \mathcal{D} u_{xx}\,$$ 其中空间域为整个实直线，状态变量$u$为多维度，$\mathcal{D}$表示固定的扩散矩阵，势$V$在无穷远处是强制的。考虑双稳态解，即在空间两端均接近稳定均匀平衡的解。对于此类解，证明了若两端逼近的平衡属于势的同一水平集，且（空间局部化）能量随时间增加保持下有界，则当时间趋于无穷时，解逼近一列稳定均匀平衡的异宿或同宿驻波解的轮廓模式，这些轮廓彼此缓慢远离。该结果为在 companion paper 中追求所有双稳态解全局行为的完整描述提供了一步。推导了一些结论，并给出了某些例子的应用。