抛物型随机偏微分方程的瞬时处处爆破

我们考虑如下随机热方程 \begin{equation*} \partial_t u(t\,,x) = \tfrac12 \partial^2_x u(t\,,x) + b(u(t\,,x)) + \sigma(u(t\,,x)) \dot{W}(t\,,x), \end{equation*} 定义于 $(t\,,x)\in(0\,,\infty)\times\mathbb{R}$，其中 $\dot{W}$ 表示时空白噪声。假设函数 $\sigma$ 为正、有界、全局 Lipschitz，且一致有界远离原点；函数 $b$ 为正、局部 Lipschitz 且非减。我们证明 Osgood 条件 $$\int_1^\infty\frac{\mathrm{d} y}{b(y)}<\infty$$ 蕴含解几乎必然处处且瞬时爆破，换言之，Osgood 条件确保 \mathbb{P}\{ u(t\,,x)=\infty\quad\text{for all t>0$and$x\in\mathbb{R}}\}=1. 证明的主要要素涉及一类微分不等式的击中时估计（注 4.3），以及利用 Chen 等人 [3,4] 中发展的 Malliavin 微积分与 Poincaré 不等式技术研究随机卷积的空间增长。