关于非线性随机热方程解的支撑集

我们研究了一维非线性随机热方程解的严格正性和紧支撑性质：$$\partial_t u(t,x) = \frac{1}{2}\partial^2_x u(t,x) + \sigma(u(t,x))\dot{W}(t,x), \quad (t,x)\in \mathbf{R}_+\times\mathbf{R},$$ 其中初始数据$u_0$非负且具有紧支撑，$\dot{W}$是时空白噪声，$\sigma:\mathbf{R} \to \mathbf{R}$是一个满足$\sigma(0)=0$的连续函数。我们证明了：(i) 如果$v/ \sigma(v)$在$v=0$附近足够大，则对所有$t>0$，解$u(t,\cdot)$是严格正的；(ii) 如果$v/\sigma(v)$在$v=0$附近足够小，则对所有$t>0$，解$u(t,\cdot)$具有紧支撑。这些发现扩展了先前关于严格正性和紧支撑性质的结果，这些结果仅针对$\sigma(u)\approx u^\gamma$（$\gamma>0$）的情况进行了分析。此外，我们在情况(i)下建立了解的唯一性和弱比较原理。