紧凑流形上随机热方程的小球概率

我们考虑紧凑光滑黎曼流形（无边界）上的随机热方程\n\n$$\begin{equation*} \partial_tu(t,x)=\frac{1}{2}\Delta_Mu(t,x)+\sigma(t,x,u)\dot{W}(t,x),\quad (t,x)\in\mathbb{R}_+\times M, \end{equation*}\n$$\n\n其中 $\dot{W}$ 是时空相关的 centered 高斯 噪声。假设 $\sigma$ 对 $u$ 满足 Lipschitz 条件且均匀有界，我们估计当 $u(0,x)\equiv 0$ 时解 $u$ 的小球概率。