随机场初值下热方程的随机 Cauchy 初值问题表述：光滑化、Harnack 型估计与 p-矩

本文研究域 $\mathbf{Q}\subset{\mathbf{R}}^{n}$ 上带随机场初值的抛物型热方程的如下随机 Cauchy 初值问题。\begin{align} &{\square}\widehat{u(x,t)} \equiv \bigg(\frac{\partial}{\partial t}-{\Delta}_{x}\bigg)\widehat{u(x,t)}=0,~x\in\mathbf{Q},t> 0 \end{align} \begin{align} \widehat{u(x,0)}=\phi(x)+\mathscr{J}(x),~x\in\mathbf{Q},t=0 \end{align} 其中 $\phi(x)\in C^{\infty}({\mathbf{Q}})$，且 $\mathscr{J}(x)$ 为经典 Gaussian 随机标量场，其期望 $\mathbb{E}[\![\mathscr{J}(x)]\!]=0$，并具有受控协方差 $\mathbb{E}[\![ \mathscr{J}(x)\otimes\mathscr{J}(y)]\!]=\zeta J(x,y;\ell)$、关联长度 $\ell$ 以及 $\mathbb{E}[\![ \mathscr{J}(x)\otimes\mathscr{J}(x)]\!]=\zeta<\infty$。随机扰动解 $\widehat{u(x,t)}$ 是一个随机卷积积分。这导出了热方程若干经典结果的随机推广与版本；特别地，一个 Li-Yau 微分 Harnack 不等式 \begin{align} \mathbb{E}\left[\!\!\left[\frac{|\nabla\widehat{u(x,t)}|^{2}}{|\widehat{u(x,t)}|^{2}} \right]\!\!\right]-\mathbb{E}\left[\!\!\left[\frac{\tfrac{\partial}{\partial t}\widehat{u(x,t)}}{\widehat{u(x,t)}} \right]\!\!\right]\le \frac{1}{2}n\frac{1}{t} \end{align} 以及一个抛物型 Harnack 不等式。推导了波动率 $\mathbb{E}[\![|\widehat{u(x,t)}|^{2}]\!]$ 与 p-矩 $\mathbb{E}[\![|\widehat{u(x,t)}|^{p}]\!]$ 的衰减估计与界。由于 $\lim_{t\uparrow \infty}\mathbb{E}[\![|\widehat{u(x,t)}|^{p}]\!]=0$，随机扰动解的 Cauchy 演化是稳定的，因为热方程在 $t\rightarrow\infty$ 时抹平或耗散了由初值随机性引发的波动率。