三维及更高维空间中的随机热方程：均匀化视角

我们考虑随机热方程 $\partial_{s}u =\frac{1}{2}\Delta u +(\beta V(s,y)-\lambda)u$，其中 $V(s,y)$ 为光滑的时空平稳高斯随机场，空间维数 $d\geq 3$，初始条件为 $u(0,x)=u_0(\varepsilon x)$，且 $\lambda\in{\mathbb R}$ 适当选取。已知当 $\beta$ 足够小时，扩散重标度解 $u^{\varepsilon}(t,x)=u(\varepsilon^{-2}t,\varepsilon^{-1}x)$ 弱收敛于热方程有效扩散率 $a$ 的解 $\bar u(t,x)$ 的标量倍，且涨落也以弱意义收敛于具有有效噪声强度 $\nu$ 和相同有效扩散率的 Edwards-Wilkinson 方程的解。本文中，我们导出逐点近似 $w^\varepsilon(t,x)=\bar u(t,x)\Psi^\varepsilon(t,x)+\varepsilon u_1^\varepsilon(t,x)$，其中 $\Psi^\varepsilon(t,x)=\Psi(t/\varepsilon^2,x/\varepsilon)$，$\Psi$ 为具有常数初始条件的 SHE 的解，而 $u^\varepsilon_1$ 为显式校正项。我们证明 $\Psi(t,x)$ 当 $t\to\infty$ 时收敛于平稳过程 $\tilde \Psi(t,x)$，$\mathbf{E}|u^\varepsilon(t,x)-w^\varepsilon(t, x)|^2$ 当 $\varepsilon\to 0$ 时逐点收敛于 $0$，且对固定 $t$ 有 $\varepsilon^{-d/2+1}(u^\varepsilon-w^\varepsilon)$ 弱收敛于 $0$。作为推论，我们给出了扩散率 $a$ 与有效噪声强度 $\nu$ 的新表示。我们的方法使用了 Gu、Ryzhik 与 Zeitouni 在“三维及更高维空间中随机热方程的 Edwards-Wilkinson 极限”中引入的轨迹空间中的马尔可夫链，以及均匀化理论中的工具。校正项 $u_1^\varepsilon(t,x)$ 是利用一种看似全新的介观时间尺度上的近似格式构造的。