非线性空间分数阶扩散的 Liouville 定理与 Fujita 指数

我们考虑半线性空间分数阶扩散问题 $(\partial_t+(-\Delta)^{\alpha/2})u=\rho(x)u^p$ 在全空间 $R^n$ 上的非负解，其具有非负初始数据，且 $(-\Delta)^{\alpha/2}$ 为 $\alpha$-Laplacian 算子，$\alpha\in (0,2)$。此处 $p>0$ 且 $\rho(x)$ 为非负局部可积函数。对于 $\rho(x)=1$，我们证明 Fujita 指数为 $p_F=1+\frac{\alpha}{n}$，且对于稳态方程，当 $0<p\leq 1+\frac{\alpha}{n-\alpha}$ 时 Liouville 型结果成立。当 $p=1/2$ 且 $\rho(x)$ 满足某一可积条件时，至少存在一个正解。这一存在性结果是在我们建立了关于分数阶 Poisson 方程解的唯一性结果之后证明的。