关于高阶抛物线方程寿命估计的注记

我们研究高阶半线性抛物线方程 $$u_t+(-\Delta)^m u=|u|^p, \quad x \in \mathbb{R}^n, t>0$$ 的解的寿命。我们关注解的非平凡解的精确渐近行为。通过结合测试函数方法和半群估计，我们推导了解的寿命的上界和下界 $$T_{\varepsilon} \simeq \left\{\begin{array}{l}\varepsilon^{-\left(\frac{1}{p-1}-\frac{n}{2m}\right)^{-1}}, \,\, 1<p<p_{\text {Fuj}}, \ \exp\left(\varepsilon^{-(p-1)}\right), \,\, p=p_{\text {Fuj}},\end{array}\right.$$其中 $p_{Fuj}=1+\frac{2m}{n}$ 为福吉塔临界指数。这些估计细化并扩展了 Caristi-Mitidieri [J. Math. Anal. Appl., 279:2 (2003), 710-722] 和 Sun [Electron. J. Differential Equations, 17 (2010)] 的早期结果，后者在慢衰减初始数据假设下仅获得上界。在本文中，方程的初始数据条件被取为 $L^1\cap L^\infty$，从而锐化了上述作品的结果。