趋化-消耗系统中与维数无关的临界指数

在半径为任意 $n\ge 1$ 的球 $\Omega\subset R^n$ 中，考虑趋化-消耗系统 $$\left\{ \begin{array}{l} u_t = \nabla \cdot \big(D(u)\nabla u\big) - \nabla \cdot (u\nabla v), \\[1mm] 0 = \Delta v - uv, \end{array} \right.$$ 其中 $u$ 满足无通量边界条件，$v$ 满足给定的正常数边界条件。在假设 $D\in C^3([0,\infty))$ 满足 $$D(\xi)\ge k_D (\xi+1)^{-\alpha} \qquad \mbox{for all } \xi\ge 0 \qquad \qquad (\star)$$ （其中 $\alpha<1$ 且 $k_D>0$）的前提下，证明了对于每个非负且径向对称的 $u_0\in \bigcup_{q>\max\{2,n\}} W^{1,q}(\Omega)$，存在唯一确定的全局有界经典解。这一结果补充了先前的一项研究：给定任意正的 $D\in C^3([0,\infty))$ 满足 $D(\xi) \le K_D (\xi+1)^{-\alpha}$（其中 $\alpha>1$ 且 $K_D>0$），可以找到非负径向初始数据 $u_0\in C_0^\infty(\Omega)$ 使得全局解不存在。