移动环境中抛物-椭圆 Keller-Segel 模型的强迫波

本文研究移动环境中形如 \begin{equation} \begin{cases} u_t=u_{xx}-\chi(uv_x)_x +u(r(x-ct)-bu),\quad x\in\mathbb{R}\cr 0=v_{xx}- \nu v+\mu u,\quad x\in \mathbb{R} \end{cases} (1) \end{equation} 的 Keller-Segel 趋化系统的强迫波，其中 $\chi$、$b$、$\nu$、$\mu$ 为正常数，$c\in R$，资源函数 $r(x)$ 全局 Hölder 连续、有界，$r^*=\sup_{x\in R}r(x)>0$，$r(\pm \infty):=\lim_{x\to \pm\infty}r(x)$ 存在，且要么 $r(-\infty)<0<r(\infty)$，要么 $r(\pm\infty)<0$。假设 $b>2\chi\mu$。在 $r(-\infty)<0<r(\infty)$ 情形下，证明当 $c>\frac{\chi\mu r^*}{2\sqrt \nu (b-\chi\mu)}- 2\sqrt{\frac{r^*(b-2\chi\mu)}{b-\chi\mu}}$ 时，(1) 存在以速度 $c$ 连接 $(\frac{r^*}{b},\frac{\mu}{\nu}\frac{r^*}{b})$ 与 $(0,0)$ 的强迫波解。在 $r(\pm\infty)<0$ 情形下，证明当 $\chi$ 充分小且 $\lambda_\infty>0$ 时，(1) 存在以速度 $c$ 连接 $(0,0)$ 与 $(0,0)$ 的强迫波解，其中 $\lambda_\infty$ 是算子 $u(\cdot)\mapsto u_{xx}(\cdot)+cu_{x}(\cdot)+r(\cdot)u(\cdot)$ 在 $R$ 上某种意义下的广义主特征值。还进行了若干数值模拟。模拟表明在一些理论结果未覆盖的参数区域内存在强迫波解，引出了若干待深入研究的问题，并对理论结果提供了一些例证。