完全吸引-排斥 Keller-Segel 系统的全局稳定性

我们研究如下有界域 $\Omega\subset \R^2$ 中具有光滑边界并满足齐次 Neumann 边界条件的完全吸引-排斥 Keller-Segel (ARKS) 系统 \begin{equation}\label{ARKS}\tag{$\ast$} \begin{cases} u_t=\Delta u-\nabla\cdot(\chi u\nabla v)+\nabla\cdot(\xi u\nabla w), &x\in \Omega, ~~t>0, v_t=D_1\Delta v+\alpha u-\beta v,& x\in \Omega, ~~t>0, w_t=D_2\Delta w+\gamma u-\delta w, &x\in \Omega, ~~t>0,\\ u(x,0)=u_0(x),~v(x,0)= v_0(x), w(x,0)= w_0(x) & x\in \Omega, \end{cases} \end{equation}。通过构造适当的 Lyapunov 函数，我们建立了该系统在较大初值下解的有界性与渐近行为。确切地说，我们证明若参数对所有正参数 $D_1,D_2,\chi,\xi,\alpha,\beta,\gamma$ 和 $\delta$ 满足 $\frac{\xi\gamma}{\chi\alpha}\geq \max\Big\{\frac{D_1}{D_2},\frac{D_2}{D_1},\frac{\beta}{\delta},\frac{\delta}{\beta}\Big\}$，则系统 \eqref{ARKS} 存在唯一的全局经典解 $(u,v,w)$，并且当 $t\to+\infty$ 时收敛到常数稳态 $(\bar{u}_0,\frac{\alpha}{\beta}\bar{u}_0,\frac{\gamma}{\delta}\bar{u}_0)$，其中 $\bar{u}_0=\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega u_0dx$。此外，若 $\frac{\xi\gamma}{\chi\alpha}> \max\Big\{\frac{\beta}{\delta},\frac{\delta}{\beta}\Big\}$，衰减率为指数型。本文给出了多维空间中具有不等化学扩散率（即 $D_1\ne D_2$）的完全 ARKS 系统的首批结果。