具有间接信号产生的趋化系统中的集中现象

我们考虑在二维圆盘上具有径向对称初始数据且满足 $0$-Neumann 边界条件的抛物线-常微分方程-抛物线（parabolic-ODE-parabolic）趋化系统。尽管我们的系统与 Keller--Segel 系统具有相似的数学结构，但我们所考虑系统的显著特点是其解不能在有限时间内爆破。在本文中，我们关注无限时间爆破的解，并确认了在原点处的集中现象。结果表明，我们系统的径向对称解在无限时间时具有类似于 Dirac delta 函数的奇异性。这意味着存在一个时间序列 $\{t_k\}$、一个权重 $m \ge 8\pi$ 以及一个非负函数 $f \in L^1(\Omega)$，使得 \begin{align*} u(\cdot,t_k) \stackrel{*}{\rightharpoonup} m \delta (0) + f\ \mathrm{as}\ t_k \to \infty. \end{align*} 我们强调，这一结果是通过证明某个能量泛函的一致时间有界性而获得的。此外，我们研究了 $m = 8\pi$ 还是 $m > 8\pi$，这是 Keller--Segel 系统中的一个开放问题。证明了在与 Lyapunov 泛函相关的特定假设下，delta 函数奇异性的权重 $m$ 大于 $8\pi$。这一发现揭示了无限时间爆破的解与 Lyapunov 泛函无界性之间的关系，这与 Keller--Segel 系统形成了对比。