无通量-狄利克雷 Keller-Segel 系统中的双重临界质量现象

由爬行细胞运动的生物物理模型导出，系统在有限区域 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$（$n\geq2$）与 $k\geq0$ 下被研究：$$(*)~\begin{cases}u_t=\Delta u-\nabla\cdot(u\nabla v)\0=\Delta v-kv+u\end{cases}$$ 尽管关于 $(*)$ 描述趋化系统并因而伴随齐次诺伊曼型边界条件的情形已有丰富文献，但当前所考虑的建模背景除仍要求在 $\partial\Omega$ 上通量 $\partial_\nu u-u\partial_\nu v$ 为零外，本质上还涉及吸引子 $v$ 的齐次狄利克雷条件，这在当前设定中对应于细胞骨架在边界处无压力。表明边界设定的这一改动伴随着在支撑奇异性结构涌现能力方面的显著变化：尤其揭示，在球中径向解的情形下，存在两个彼此不同的临界质量水平（当 $k>0$ 或 $n\geq3$ 时互异），它们划分出如下区间：(i) 所有解全局存在且有界，(ii) 同时存在全局有界解与爆破解，或 (iii) 所有非平凡解在有限时间内爆破。虽然区分 (i) 与 (ii) 型机制的临界质量现象在 $(*)$ 于平面区域经典无通量边界条件下已被充分理解，但发现与 (iii) 出现相关的另一独立次级临界质量水平似乎无相近先例。在以圆盘为域的平面情形中，分析结果辅以若干数值图示，并讨论了这些发现如何能从生物物理角度解读为平底基底上细胞的情况。