任意空间维度下具有临界质量的半线性抛物 - 椭圆趋化系统

我们研究了 $\mathbb{R}^N$ 中球域内具有涉及临界幂次的非线性敏感度的半线性抛物 - 椭圆 Patlak-Keller-Segel 系统的径向解。对于 $N = 2$，后者简化为经典的线性模型，其临界质量 $8\pi$ 众所周知。我们表明，临界质量现象也发生在 $N \geq 3$ 时，但具有截然不同的定性行为。更确切地说，如果细胞总质量小于或等于临界质量 $M$，则当时间趋于无穷大时，细胞密度收敛于支撑严格位于球内的正则稳态。在临界质量情况下，由于存在连续统的静止解，该结果是非平凡的，并且与 $N = 2$ 情况下发生无限时间爆破形成鲜明对比。如果细胞总质量大于 $M$，则所有解均在有限时间内爆破。这实际上源于（不同于 $N = 2$）存在一族支撑严格位于球内的自相似爆破解。