与空间周期 KPP 型方程行波最小速度相关的变分问题

我们考虑与方程 $u_t=u_{xx}+b(x)(1-u)u$, $x\in{\mathbb R},\ t>0$ 的脉动行波最小速度相关的变分问题,其中系数 $b(x)$ 非负且关于 $x\in{\mathbb R}$ 以周期 $L>0$ 周期。已知存在量 $c^*(b)>0$,使得平均速度为 $c>0$ 的脉动行波存在当且仅当 $c\geq c^*(b)$。该量 $c^*(b)$ 即所谓脉动行波的最小速度。本文在某些约束下通过改变系数 $b(x)$ 研究最大化 $c^*(b)$ 的问题。我们在约束的一定假设下证明极大元的存在性,并导出该极大元在 $L^2$ 约束 $\int_0^L b(x)^2dx=\beta$ 下满足的 Euler--Lagrange 方程。还考虑了当 $L\rightarrow0$ 与 $\beta\rightarrow0$ 时此 Euler--Lagrange 方程解的极限问题。此外,在 $L^p$ 约束 $\int_0^L b(x)^pdx=\beta$ 下,当 $L$ 或 $\beta$ 趋于无穷时,我们也考虑某一类阶梯函数中的变分问题。