二维分层介质中 KPP 波前传播速度的最大化

我们考虑方程 $u_t=u_{xx}+u_{yy}+b(x)f(u)+g(u)$，$(x,y)\in\mathbb R^2$，其中具有单稳态非线性，$b(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的非负测度且在 $x$ 方向上是周期的。在 $b(x)$ 为光滑周期函数的情形下，存在沿方向 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 传播的脉动行波，当且仅当 $c\geq c^*(\theta,b)$ 时其平均速度为 $c$，其中 $c^*(\theta,b)$ 是依赖于 $b$ 的某个正数。此外，量 $w(\theta;{b})=\min_{|\theta-\phi|<\frac{\pi}{2}}c^*(\phi;{b})/\cos(\theta-\phi)$ 被称为传播速度。通过证明对于任何周期为 $L$ 的非负测度 $b$，最小速度 $c^*(\theta,b)$ 均存在，可将该理论推广。随后，我们在约束条件 $\int_{[0,L)}b(x)dx=\alpha L$ 下研究最大化 $c^*(\theta,b)$ 的问题，其中 $\alpha$ 是任意给定的正常数。我们证明了对于任何方向 $\theta$，最大值由周期性排列的 Dirac delta 函数 $h(x)=\alpha L\sum_{k\in\mathbb Z}\delta(x+kL)$ 达到。基于这些结果，针对 $b=h$ 的情形，我们还展示了传播速度在 $\theta$ 上的单调性，并研究了大 $L$ 和小 $L$ 情况下传播波前的渐近形状。最后，我们表明对于一般的二维周期方程 $u_t=u_{xx}+u_{yy}+b(x,y)f(u)+g(u)$，$(x,y)\in\mathbb R^2$，类似的结论并不成立。