与空间周期反应扩散方程行波最小速度相关的变分问题

我们考虑方程 $u_t=u_{xx}+b(x)u(1-u),$ $x\in\mathbb R,$ 其中 $b(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的非负测度且在 $x$ 方向上是周期的。在 $b(x)$ 为光滑周期函数的情形下，已知对于任何 $c\geq c^*(b)$ 都存在速度为 $c$ 的行波，其中 $c^*(b)$ 是依赖于 $b$ 的某个正数。这样的行波通常被称为“脉动行波”或“周期行波”，而 $c^*(b)$ 被称为“最小速度”。在本文中，我们首先通过证明对于任何周期为 $L$ 的非负测度 $b$，最小速度 $c^*(b)$ 均存在，从而推广了这一理论。接下来，我们在约束条件 $\int_{[0,L)}b(x)dx=\alpha L$ 下研究最大化 $c^*(b)$ 的问题，其中 $\alpha$ 是任意给定的常数。这个问题与 20 世纪 80 年代末数学生态学家研究的问题密切相关，但其答案此前尚不为人知。我们通过证明最大值由周期性排列的 Dirac delta 函数 $\alpha L\sum_{k\in\mathbb Z}\delta(x+kL)$ 达到来回答了这个问题。