具有非线性扩散的高维趋化—趋触模型解的有界性新结果

本文处理具有非线性扩散的耦合拟线性趋化—趋触模型的边值问题 $$\left\{\begin{array}{ll} u_t=\nabla\cdot(D(u)\nabla u)-\chi\nabla\cdot(u\nabla v)-\xi \nabla\cdot(u\nabla w)+\mu u(1-u-w),\\ v_t=\Delta v- v +u,\quad \\ w_t=- vw\\ \end{array}\right.$$ 在 $N$ 维光滑有界区域中，其中参数 $\xi ,\chi> 0$，$\mu> 0$。假设扩散率 $D(u)$ 对所有 $u > 0$ 满足 $D(u)\geq C_{D}u^{m-1}$，其中 $C_D>0$。基于一个新的能量不等式，本文证明了在条件 m>\frac{2N}{N+{{{{\frac{(\frac{\max_{s\geq1}\lambda_0^{\frac{1}{{{s}}+1}} (\chi+\xi\|w_0\|_{L^\infty(\Omega)})}{(\max_{s\geq1}\lambda_0^{\frac{1}{{{s}}+1}}(\chi+\xi\|w_0\|_{L^\infty(\Omega)})-\mu)_{+}}+1) (N+\frac{\max_{s\geq1}\lambda_0^{\frac{1}{{{s}}+1}}(\chi+\xi\|w_0\|_{L^\infty(\Omega)})}{(\max_{s\geq1}\lambda_0^{\frac{1}{{{s}}+1}} (\chi+\xi\|w_0\|_{L^\infty(\Omega)})-\mu)_{+}}-1)}{N}}}}} 以及对初始数据的适当正则性假设下，当 $D(0) > 0$（非退化扩散情形）时，相应的初边值问题至少存在一个全局有界经典解；而当 $D(0)\geq 0$（可能退化扩散情形）时，证明了系统有界弱解的存在性。这推广了几位作者最近的一些结果。