具有非线性扩散的趋化-流体系统的全局极弱解

我们考虑有界域 $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ 中具有光滑边界和 $m>1$ 的趋化-流体系统 \begin{align}\label{star}\tag{$\diamondsuit$} \left\{ \begin{array}{r@{\,}c@{\,}c@{\,}l@{\quad}l@{\quad}l@{\,}c} n_{t}&+&u\cdot\!\nabla n&=\Delta n^m-\nabla\!\cdot(n\nabla c),\ &x\in\Omega,& t>0,\\ c_{t}&+&u\cdot\!\nabla c&=\Delta c-c+n,\ &x\in\Omega,& t>0,\\ u_{t}&+&(u\cdot\nabla)u&=\Delta u+\nabla P+n\nabla\phi,\ &x\in\Omega,& t>0,\\ &&\nabla\cdot u&=0,\ &x\in\Omega,& t>0, \end{array}\right. \end{align}。假设 $m>\frac{4}{3}$ 且初始数据充分正则非负，我们在合适的极弱可解性意义下，确保了 \eqref{star} 的无通量-狄利克雷边值问题全局解的存在性，该意义在先前文献中以不同变体被使用过。将此与 \eqref{star} 无流体情形下的已知结果比较，该条件关于全局存在性似乎是最优的。在更强假设 $m>\frac{5}{3}$ 下，我们进一步建立了标准意义下至少一个全局弱解的存在性。在我们的分析中，我们研究形如 $\int_{\Omega}\! n^{m-1}+\int_{\Omega}\! c^2$ 的泛函，以获得关于 $\nabla n^{m-1}$ 的时空 $L^2$ 估计，这将是推导 \eqref{star} 适当正则化版本的系列紧致性质的起点。由于从这些紧致结果可获得的 regularity 信息随 $m$ 的大小而变化，我们将发现取 $m>\frac{5}{3}$ 将产生足够的正则性以在弱形式中出现的积分里取极限，而对于 $m>\frac{4}{3}$ 我们不得不依赖更弱的正则性要求，使得仅能获得极弱解。