模拟珊瑚受精的三维 Keller-Segel-Navier-Stokes 系统的全局弱解

我们考虑有界域 $\Omega\subset \mathbb{R}^3$ 中具有光滑边界的不可压缩四分量 Keller-Segel-Navier-Stokes 系统带旋转通量的初边值问题 $$\left\{\begin{array}{l} n_t+u\cdot\nabla n=\Delta n-\nabla\cdot(nS(x,n,c)\nabla c)-nm,\quad x\in \Omega, t>0,\\ c_t+u\cdot\nabla c=\Delta c-c+m,\quad x\in \Omega, t>0,\\ m_t+u\cdot\nabla m=\Delta m-nm,\quad x\in \Omega, t>0,\\ u_t+\kappa(u \cdot \nabla)u+\nabla P=\Delta u+(n+m)\nabla \phi,\quad x\in \Omega, t>0,\\ \nabla\cdot u=0,\quad x\in \Omega, t>0 \end{array}\right.$$ 其中 $\kappa\in \mathbb{R}$ 是给定常数，$S$ 是矩阵值敏感性，满足 $|S(x,n,c)|\leq C_S(1+n)^{-\alpha}$，其中某些 $C_S> 0$ 且 $\alpha\geq 0$。由于 $\kappa = 0$ 的情形（当 $\alpha\geq\frac{1}{3}$ 或初始数据满足某小性条件时）已在 [14] 中考虑，基于新的类梯度泛函不等式，本文证明了当 $\alpha>0$ 时对应的初边值问题在 $\kappa \neq 0$ 时至少存在一个全局弱解。据我们所知，这是针对{\bf 完整三维四分量}趋化-Navier-Stokes 系统的首个解析工作。