变指数拟线性抛物方程非常弱解的内部与边界高可积性

我们证明了形如 $$\left\{ \begin{array}{ll} u_t - div \mathcal{A}(x,t,\nabla u) = 0 &\quad \text{on} \ \Omega \times (-T,T), \\ u = 0 &\quad \text{on} \ \partial \Omega \times (-T,T), \end{array} \right.$$ 的拟线性抛物方程之\emph{非常弱}解（空间）梯度的边界高可积性，其中非线性结构 $\mathcal{A}(x, t,\nabla u)$ 以变指数 $p(x,t)$-Laplace 算子 $|\nabla u|^{p(x,t)-2} \nabla u$ 为模型。为此，我们通过构造一个 Lipschitz 连续且保持边界值的合适测试函数，证明了梯度在边界附近满足反向 Hölder 不等式。在内部情形中，文献 \cite{bogelein2014very} 在 $p(x,t) \geq \mathfrak{p}^- \geq 2$ 成立时证明了此类结果，随后文献 \cite{li2017very} 将其推广至奇异情形 $\frac{2n}{n+2}< \mathfrak{p}^-\leq p(x,t)\leq \mathfrak{p}^+ \leq 2$。这一限制是必要的，因为拟线性抛物问题的内蕴缩放尺度在 $\mathfrak{p}^+ \leq 2$ 与 $\mathfrak{p}^-\geq 2$ 情形下是不同的。本文中，我们发展了一种新的统一内蕴缩放尺度，借助它我们能够将 \cite{bogelein2014very,li2017very} 的结果推广至整个范围 $\frac{2n}{n+2} < \mathfrak{p}^- \leq p(x,t)\leq \mathfrak{p}^+<\infty$，并得到直至边界的类似结果。\emph{本文的主要新颖之处在于我们的方法能够同时处理奇异情形与退化情形。}为简化论述，我们仅在区域 $\Omega$ 满足一致测度密度条件时证明边界附近的高可积性结果。我们的技术也适用于高阶方程及方程组。