Linnik 问题中的方差估计

Andrei Shubin

Linnik 问题中的方差估计

数论 2022-08-02 v2

作者: Andrei Shubin

摘要

我们估计了三维球面（以原点为中心）表面上一个小随机旋转球体内格点数的方差。此前，Bourgain、Rudnick 和 Sarnak 在广义 Lindelöf 假设条件下证明，该方差由上界 $\sigma(\Omega_n){N_n}^{1+\varepsilon}$ 限制，其中 $\sigma(\Omega_n)$ 为单位球面上球体 $\Omega_n$ 的面积， $N_n$ 为丢番图方程 $x^2 + y^2 + z^2 = n$ 解的总数。在假设大黎曼假设（Grand Riemann Hypothesis）的前提下，并利用 Soundararajan 与 Harper 的矩方法，我们建立了形式为 $c\sigma(\Omega_n) N_n$ 的上界，其中 $c$ 为绝对常数。该上界与猜想的量级一致。

关键词

Linnik 问题方差估计格点球面广义 Lindelöf 假设大黎曼假设矩方法

引用

@article{arxiv.2108.00726,
  title  = {Variance estimates in Linnik's problem},
  author = {Andrei Shubin},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2108.00726},
  year   = {2022}
}

备注

48 pages

Linnik 问题中的方差估计

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