关于环面本征函数的节点集

我们研究标准d维平坦环面上拉普拉斯算子本征函数的节点集。我们探讨的问题是：一个固定的超曲面能否位于具有任意大特征值的本征函数的节点集上？在二维情形中，我们证明这仅对闭测地线段成立。在更高维数中，某些柱面集确实位于对应任意大特征值的节点集上。我们的主要结果是，对于具有非零高斯-克罗内克曲率的超曲面，这种情况不可能发生。在二维情形中，该结果源于早期论文中证明的曲线上的本征函数限制的L^2范数的一致下界。在高维情形中，我们目前没有这个下界。相反，我们利用平坦环面的实解析性质，研究本征函数限制到复域中适当子流形上的该下界的变体。在我们的所有结果中，都需要一个关于球面上格点簇结构的算术成分。我们还给出了二维情形的一个独立证明，该证明依赖于函数域中的“abc定理”。