紧度量测度空间上的弱外尔定律

著名的外尔定律（外尔渐近公式）给出了紧黎曼流形 ${\bf M}$ 上拉普拉斯-贝尔特拉米算子在大型区间 $[0,\>\omega]$ 上特征值个数（按重数计）$\mathcal{N}_{\omega}$ 的近似。本文我们在某些装备有作用于 $L_{2}({\bf X})$ 的自伴非负算子 $\mathcal{L}$ 的紧度量测度空间 ${\bf X}$ 上证明一种弱版本的外尔定律。粗略地说，我们表明若某个庞加莱不等式成立，则 $\mathcal{N}_{\omega}$ 被 ${\bf X}$ 的由半径为 $\omega^{-1/2}$ 的球构成的一个适当覆盖 $\mathcal{B}_{\omega^{-1/2}}=\{B(x_{j},\omega^{-1/2})\},\>\>\>x_{j}\in {\bf X},$ 的基数所控制。此外，若对应于 $\mathcal{L}$ 的热核满足短时间高斯估计，则反向不等式成立。已知在所谓具有完备内蕴度量的强局部正则狄利克雷空间情形，庞加莱不等式成立当且仅当相应热核满足短时间高斯估计。因此对此类空间可得 $\mathcal{N}_{\omega}$ 本质上等价于覆盖 $\mathcal{B}_{\omega^{-1/2}}$ 的基数。