关于非紧类型秩一对称空间上特征函数的 Rellich 类型渐近现象

我们研究了在非紧类型秩一黎曼对称空间的外部域 $\Omega$ 中拉普拉斯-贝尔特拉米算子 $\Delta_X$ 的特征函数。该类问题包括所有双曲空间。延续欧几里得拉普拉斯的经典 $L^2$ Rellich 定理，我们分析了 Helmholtz 方程\n\n$$\Delta_X f + (\lambda^2 + \rho^2) f = 0 \quad \text{在 } \Omega \text{ 中},$$\n\n其中 $\lambda \in \mathbb{C}\setminus i\mathbb{Z}$，$\rho$ 表示正根的半和。我们建立了在测地环状区域内的锐利 Rellich 类型定量 $L^p$ 增长估计，这导致在满足 $|\Im(\lambda)| \leq (2/p - 1)\rho$ 的谱参数范围内，$L^p(\Omega)$ 解不存在非平凡解。对于非实谱参数，我们进一步获得了在弱 $L^p$ 假设下更精细的 Rellich 类型唯一性结果。作为副产品，我们还证明了以 Hardy 类型范数形式的 Rellich 类型唯一性定理。我们的结果提供了欧几里得 Rellich 定理的几何扩展，凸显了指数体积增长和 $L^p$ 谱spectra of $\Delta_X$ 的 $p$ 依赖性在产生真正非欧几里得谱现象方面发挥的作用。