关于拉普拉斯算子本征函数的一个观察

在1943年的开创性论文中，F. Rellich 证明了在腔体补集 $\Omega = \{x\in \mathbb R^n\mid |x|>R_0\}$ 中，当 $\lambda>0$ 时，亥姆霍兹方程 $\Delta f = - \lambda f$ 不存在满足 $\int_{\Omega} |f|^2 dx < \infty$ 的非平凡解 $f$。在本注记中，我们推广了这一结果，证明若对某个 $0<p\leq \frac{2n}{n-1}$ 有 $\int_{\Omega} |f|^p dx < \infty$，则 $f\equiv 0$。该结果是尖锐的，因为对任意 $p> \frac{2n}{n-1}$，在 $\Omega$ 中确实存在本征函数。