带有空洞区域的渐近平坦扩散的 L^p 谱的不存在性

我们研究了变量系数椭圆方程 $-\D(A(x) \nabla u) = \kappa u$, $\kappa>0$ 在外部域 $\Om\subset\R^n$ 中的解，其中 $A(x)$ 为均匀 ellipt 且渐近平坦。我们扩展了 Rellich 经典的 $L^2$ 结果 for Laplacian，证明如果 $u\in L^p(\Om)$ 对于某个 $0<p<\frac{2n}{n-1}$，则 $u\equiv 0$。该证明基于针对 $A(x)$ 几何性质所设计的新的单调公式，基于加权能量和向量场。我们的结果在变量系数情境下揭示了更精细的可积性阈值。