Laplace-Beltrami 算子的几乎 $L^p$-本征函数的刻画

在 \cite{Roe} 中，Roe 证明了如果 $\R$ 上的函数的双侧无穷序列 $\{f_k\}$ 满足 $f_{k+1}=(df_{k}/dx)$ 且对于所有 $k=0,\pm 1,\pm 2,...$ 和 $x\in \R$ 有 $|f_{k}(x)|\leq M$，则 $f_0(x)=a\sin(x+\varphi)$，其中 $a$ 和 $\varphi$ 为实常数。Strichartz \cite{Str} 将此结果推广至 $\R^n$，其中 $d/dx$ 被 $\R^n$ 上的 Laplacian 所替代。虽然将该定理推广至其他 Riemannian 流形或 Lie 群是合理的，但 Strichartz 表明该结果对 Heisenberg 群成立，而对双曲 3 空间不成立。这一负面结果确实可以推广至任何非紧型 Riemannian 对称空间。我们观察到，这种失效根源于双曲空间上 Laplacian 的 $L^p$ 谱对 $p$ 的依赖性。考虑到这一点，我们将证明，对于所有非紧型秩一 Riemannian 对称空间，或更一般地对于调和 $NA$ 群，当一致有界性被一致“几乎 $L^p$ 有界性”替代时，该定理实际上成立。此外，我们将看到，对于对称空间，该定理能够刻画边界上 $L^p$ 函数的 Poisson 变换，这在某种程度上类似于 Roe 在 $\R$ 上的原始定理。