使用傅里叶乘子表征拉普拉斯算子指数增长本征函数

1993 年，罗伯特·斯特里查尔茨 (Robert Strichartz) 对拉普拉斯算子在 $\mathbb{R}^d$ 上的有界本征函数建立了表征。设 $\left\{f_k \right\}_{k\in \mathbb{Z}}$ 为 $\mathbb{R}^d$ 上的一个双无限序列函数，满足 $\Delta f_k= f_{k+1}$ 对所有 $k \in \mathbb{Z}$ 成立。如果 $\left\{f_k \right\}$ 的成员均均匀有界，则斯特里查尔茨证明 $\Delta f_0= f_0$，从而概括了罗尔 (Roe) 在实数线上的经典结果。鉴于许多物理上重要的本征函数呈现无界行为，Howard 和 Reese 将此结果推广至包括多项式增长函数。基于更精细的函数分析框架，我们最近建立了斯特里查尔茨定理的更广泛推广，涵盖指数增长的本征函数。本文进一步通过取代微分算子为更广泛类的傅里叶乘子，来探讨拉普拉斯算子的谱几何。具体而言，我们聚焦于径向卷积算子，包括球形平均、球体平均和热算子。所提出的核心问题如下：对于固定乘子 $\Theta$，我们考虑满足递推关系 $\Theta f_k = A f_{k+1}$ 的指数增长函数双无限序列 $\{f_k\}_{k \in \mathbb{Z}}$，其中 $A$ 为复常数。在特定谱条件下，我们证明函数 $f_k$ 正好对应于 $\mathbb{R}^d$ 上的拉普拉斯算子 $\Delta$ 的本征函数。这一结果提供了一种统一的方法来表征定理，将本征函数的增长率与相关乘子的符号相联系。