具有指数增长的 Laplace 算子特征函数的刻画

1993 年，Robert Strichartz 证明了 $\mathbb{R}^d$ 上 Laplace 算子 $\Delta=-\sum_{j=1}^d \frac{\partial^2}{\partial x_j^2}$ 有界特征函数的一个刻画：若 $\left\{f_k \right\}_{k\in \mathbb{Z}}$ 为 $\mathbb{R}^d$ 上的双边无穷函数序列，满足 $\Delta f_k=f_{k+1}$ 且对所有 $k \in \mathbb{Z}$ 存在某个 $C>0$ 使得 $\|f_k\|_{L^{\infty}(\mathbb{R}^d)} \leq C$，则 $f_0$ 是 $\Delta$ 的特征函数。鉴于 Laplace 算子无界特征函数的存在，Howard 和 Reese 推广了 Strichartz 定理，刻画了具有至多多项式增长的 Laplace 算子特征函数。在本文中，我们将证明 Strichartz 定理的一个推广版本，以刻画具有指数增长的 Laplace 算子特征函数。