渐近锥形流形上的限制与谱乘子定理

经典的Stein-Tomas限制定理等价于如下陈述：在$\RR^n$上，Laplacian平方根的谱测度$dE(\lambda)$是从$L^p(\RR^n)$到$L^{p'}(\RR^n)$的有界算子，其中$1 \leq p \leq 2(n+1)/(n+3)$，$p'$是$p$的共轭指数，算子范数按$\lambda^{n(1/p - 1/p') - 1}$标度。我们证明了一个几何推广，其中$\RR^n$上的Laplacian被替换为无俘获渐近锥形流形上的Laplacian（加上适当势能），这是首次在变系数情形下证明此类结果。该结果与Sogge的离散$L^2$限制定理密切相关但更强，后者是对固定长度谱窗口的谱投影的$L^p \to L^{p'}$算子范数的$O(\lambda^{n(1/p - 1/p') - 1})$估计。由此，我们推导出这些算子的谱乘子估计，包括Bochner-Riesz可和性结果，这些结果在以上$p$范围内是最优的。