修正引力 f(R) 理论的数学有效性

我们为修正引力的 f(R) 理论建立了适定性理论，该理论是 Einstein 引力理论的推广。时空的标量曲率 R（出现在 Einstein-Hilbert 泛函的被积函数中）被函数 f=f(R) 所取代。场方程涉及时空度规的高达四阶导数，挑战在于理解这些高阶项的结构。我们提出了当初值数据 prescribed 在超曲面上时，修正引力中初值问题的一种表述。除了初始切片上的诱导度规、第二基本形式和初始物质含量外，初始数据集还必须提供时空标量曲率及其时间导数。我们引入了一种增广共形表述（我们如此称呼它），其中时空曲率是一个独立变量。在所谓的波规范下，修正引力的场方程简化为一个具有散焦势的非线性波-Klein-Gordon 方程耦合系统，其未知量为共形变换后的度规、标量曲率以及物质场。当物质由标量场表示时，我们能够建立最大全局双曲发展的存在性。我们分析了所谓的 Jordan 耦合，并使用 Einstein 度规进行工作，该度规与物理度规共形等价——共形因子取决于标量曲率。我们的分析导致了对修正引力理论的严格验证。我们推导了关于非线性 f(R) 一致的定量估计，并证明了当修正引力作用泛函中的函数 f(R)“接近”Einstein-Hilbert 被积函数 R 时，修正引力的渐近平直时空“接近”Einstein 时空。