局部极小-极大曲面与强不可约极小 Heegaard 分裂

设 $(M,g)$ 为闭定向黎曼 $3$ 维流形，并假设存在一个强不可约 Heegaard 分裂 $H$。我们证明 $H$ 要么同痕于指标至多为 $1$ 的极小曲面，要么同痕于附加了垂直柄的不可定向极小曲面的稳定定向双重覆盖。特别地，这证明了 Rubinstein 猜想的一个结果。一些推论包括：在任何 $\mathbb{R}P^3$ 中，要么存在极小环面，要么存在具有稳定泛覆盖的极小射影平面。在正数量曲率的情况下，对于不微分同胚于 $S^3$ 或 $\mathbb{R}P^3$ 的球形空间形式，证明了任何强不可约 Heegaard 分裂在其同痕类中均存在极小代表，并且若 $R\geq 6$，则存在面积小于 $4\pi$ 的极小 Heegaard 分裂。