非常数平均曲率下爱因斯坦约束方程的粗糙解

我们在带边界的紧致流形上考虑由 Lichnerowicz 和 York 引入的爱因斯坦约束方程的共形分解。我们利用适当巴拿赫空间上的序关系，推导了哈密顿约束已知次解和超解（障碍）的弱解推广。将这些障碍与变分法相结合，证明了在本质有界函数空间与索伯列夫空间 H1 的交集中哈密顿约束解的存在性。该结果针对背景度量的标量曲率 R 取任意符号的情况成立；若 R 非负，则需对物质能量密度或外曲率的无迹散度部分施加额外的正性假设。尽管表述不同，该结果可视为降低了 Maxwell 关于粗糙常平均曲率（CMC）解近期结果的正则性要求。我们还建立了哈密顿约束和动量约束方程非 CMC 解的存在性。该结果是直接利用不动点迭代和紧性论证获得的，而非通过构建压缩映射。该非 CMC 结果可视为将 Isenberg 和 Moncrief 1996 年关于非 CMC 解的正则性结果推广至更低正则性以及标量曲率 R 取任意符号的情形。