共形表述解的非唯一性
广义相对论与量子宇宙学
2013-06-10 v2 偏微分方程分析
摘要
众所周知，在平均曲率为常数 (CMC) 和近常数平均曲率 (near-CMC) 的情况下，爱因斯坦约束方程共形表述的解是唯一的。然而，Holst、Nagy 和 Tsogtgerel 于 2008 年，Maxwell 于 2009 年，以及 Dahl、Gicquaud 和 Humbert 于 2010 年提出的新的远离常数平均曲率 (far-from-CMC) 存在性结果，是基于度理论，而非 2008 年之前用于所有非 CMC 存在性结果的（提供唯一性的）压缩论证。事实上，Maxwell 在 2011 年证明，对于某些类型的低正则性平均曲率，far-from-CMC 情况下的解是非唯一的。在本文中，我们利用分歧理论的工具，研究闭流形上爱因斯坦约束方程解的唯一性性质。对于正标量曲率和常数平均曲率，我们首先证明了具有未缩放物质源的哈密顿约束存在一个临界能量密度。随后我们表明，对于该能量密度选择，椭圆系统的线性化在 CMC 和非 CMC（近和远）情况下均发展出一维核。利用 Liapunov-Schmidt 约化和非线性分析的标准工具，我们通过确定一条显式解曲线并分析其在特定解邻域内的行为，证明了具有未缩放数据的共形表述的解是非唯一的。
引用
@article{arxiv.1210.2156,
title = {Non-uniqueness of Solutions to the Conformal Formulation},
author = {Michael Holst and Caleb Meier},
journal= {arXiv preprint arXiv:1210.2156},
year = {2013}
}
备注
34 pages, no figures. Version 2 is minor update fixing typos and reflecting external comments